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矩阵的可交换性有什么几何意义吗?

发布时间:2022-09-27 06:44:25 来源:电竞平台 作者:电竞平台官方入口

  矩阵可交换,就是对于矩阵A和B,有AB=BA=C。显然,A和它的逆A⁻¹是可交换的,AA⁻¹=A

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  矩阵可交换,就是对于矩阵A和B,有AB=BA=C。显然,A和它的逆A⁻¹是可交换的,AA⁻¹=A⁻¹A=I。但不是所有的AB=BA都能=I,I应该是C里的一个特殊情况。

  矩阵乘法一般不遵守交换律是因为在AB里,A与B的性质是不同的,左边的A是一组向量,准备被用来做组合(数乘以后再加到一起);而右边的B是确定A里的向量在被用来组合是应该有多少个来参与,即为A里向量的系数。B里的每一列向量都是一列系数,每个系数决定了用A里的向量组成啥向量(C里的一个向量),B里有几个向量,A就被用来做几次组合,就有几个C里的列向量。这些列向量最后框在一个刮号里形成了矩阵C。

  由于矩阵乘法里左右侧的矩阵所代表的意义不同,AB≠BA就是常态,除非遇到特别的A,B了,比如A和A⁻¹(令B=A⁻¹)。

  如果除A与A⁻¹之外,还有AB=BA,这就意味着,当用B为准备被用来做组合的向量(基),而A是决定参与组合的B的列向量的系数时,获得的结果与A作为基,而B为系数时的一样。这样的A,B,在长相上会是啥模样呢?

  谈到可交换矩阵的几何意义,题主的意思应该是A,B可交换时,它们的空间分布看上去会是怎么一种结构。我们或该先考虑一下二维时的情况,比如画一个A和A⁻¹各自的向量图(在二维矩阵里,A和A⁻¹都只有两个向量)和对应两个矩阵的y分布图(椭圆,圆或直线)。先从这个可交换的特殊案子里看看它们在图形(几何)上有啥特别的地方么。

  一个矩阵只要满秩(在二维矩阵情况下就是两个列向量不共线),就一定可逆,也就是一定有可与其交换的矩阵在。这样,从A的结构上(列向量的排布和y的分布)看,除了不能有共线的情况出现外,并没有啥图形上的特殊性。这样就只能来看看A⁻¹在列向量的排列以及其y的分布上来考察一下它相对A的结构有啥对称性没有。

  还有一个特殊情况,就是两个对角矩阵A,B,它们应该是可交换的。在二维矩阵的情况下,就是两个正交矩阵,且相对I,j的转角都为零(a₁,b₁在i上,a₂,b₂在j上)。不过,从y分布上看,两者本身和相互之间好像没啥图形上的特殊性。

  补:如果A与B平行(aₙ与bₙ同向),则必有aₙ=λₙbₙ,在加上A,B各自为正交矩阵,是不是就有AB=BA了?当A,B是对角矩阵时,这是两个正交矩阵平行,但又都与i,j基平行。把与I,j基平行的条件去掉后,保持另外两个条件,就相当于把A,B,C的向量们转动一个相同的角度,但它们之间的相对位置没变,这个AB=BA=C的关系能保持么?

  A,B不再是对角矩阵了,虽然它们各自还是正交矩阵,且相对还是平行的。

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