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矩阵可交换的条件及其性质

发布时间:2022-09-27 06:52:40 来源:电竞平台 作者:电竞平台官方入口

  中文摘要特殊矩阵在矩阵分析和矩阵计算中占有十分重要的地位,它们在计算数学 应用数学、经济学、物理

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  中文摘要特殊矩阵在矩阵分析和矩阵计算中占有十分重要的地位,它们在计算数学 应用数学、经济学、物理学等方面都有着广泛的应用,对特殊矩阵的研究取得 的实质性的进展,都将会对计算数学的发展起着重要的推动作用.随着矩阵应用 程度的不断加深,矩阵的可交换性越来越被学者和技术人员所重视.矩阵的可交 换性不仅在矩阵计算中起着重要作用,而且在卫星通讯等等许多领域也有着直 接的应用. 关键词:矩阵交换 矩阵 可交换 特殊矩阵 上三角矩阵 数量矩阵 ABSTRACT Special matrices play importantrole matrixanalysis matrixcomputation havewide applications computationalmathematics, economics,physics,biology,applied mathematics etc.Greatprogress obtained specialmatrices giveimprovements computationalmathematics.With moreabroad,the commutativity morerecognition technologyworker.The commutativity onlyplays importantpart matrixcomputation,but also secondaryplanet, communication otherfields. Keywords: matrix,mathematics,exchangeable,specialmatrices,upper triangle matrices,scalar matrices 矩阵的可交换性在各类矩阵的运算中应用十分重要,特别是在现在这种信 息时代,在卫星通讯、网络安全方面、解码器以及电路系统镇定性问题、路由 交换处理器等等都有着不可替代的作用. 本文主要介绍了矩阵的可交换性质和可交换条件的研究以及矩阵交换的相 关概念和基本定义.对矩阵可交换的基本定理和一些优美性质进行了叙述和总结, 以及对一些特殊的矩阵例如数量矩阵、上三角矩阵等等,满足可交换条件的矩 阵进行了探究. 在高等代数及线性代数的教学中,矩阵是一个重要的教学内容。由矩阵的 理论可知,矩阵的乘法不同于数的乘法,矩阵的乘法不满足交换律,即当矩阵 有意义时,矩阵 未必有意义;即使矩阵 都有意义时它们也未必相等。由于矩阵的乘法不满足满足交换律,所以对于研究 的关系有重要意义。我们知道,若对 阶实方阵 可交换。可交换矩阵有许多良好的性质,研究矩阵可交换的条件及可交换矩阵的一些性质对矩阵理论的研究具有重要的意义(文中的矩阵均指 阶实方阵)。 基本定义和相关概念以下定义1.1.1 到定义1.1.8 均来自参考文献[6]. 定义1.1.1 若同阶矩阵 为可交换矩阵.定义 1.1.2 阶方阵 中若元素 定义1.1.3主对角线 矩阵称为 阶单位矩阵,记为 ,或者在不致引起含混的时候简写为 .显然有 定义1.1.4 为数量阵.记其中 阶单位阵.定义 1.1.5 阶方阵满足 其中 为反对称阵.定义 1.1.7 若同阶方阵 满足 ,其中 为同阶单位阵, 互为逆方阵,记逆矩阵或者 阶方阵满足 ,其中 为同阶单位阵, 为正交矩阵.定义 1.1.9 阶方阵,满足 为正矩阵.定义 1.1.10 若对于矩阵 、矩阵 存在可逆矩阵 ,使得 二.矩阵可交换的充分条件定理2.1.1 可交换;定理2.1.2 可交换;定理2.1.3 可交换;定理2.1.4 可交换;定理2.1.5 可交换;定理2.1.6 可交换;定理2.1.7 可交换;推论2.1.8 可交换.证明: 2.1.1 对任意矩阵 ,均有: 表示零矩阵;2.1.2 对任意矩阵 ,均有: 2.1.3对任意矩阵 ,均有: 为任意实数; 2.1.4、2.1.5 显然成立; 2.1.6 均可逆,且为互逆矩阵.定理2.1.9 是对角元为的对角阵, 可交换.定理2.1.10 ,其中为非零实数,则 可交换.证明:由 可得 ,其中为正整数, 为非零实数,则 可交换;证明:由 定理2.1.12 交换;证明:若 ,由可逆得 ,从而 定理2.1.13 均可逆,若对任意实数,均有 可交换.证明:因 阶方阵其中 可交换.三.矩阵可交换的充要条件 定理2.2.1 下列均是 两边取伴随可证得.定理 2.2.2 个互不相同的特征根,则的充分必要条件是 可同时对角化。证明:必要性 由于 个互不相同的特征根,则存在可逆矩阵使得 因为 所以有而与 可交换的矩阵只能是对角矩阵, 为对角矩阵.即存在可逆矩阵 使得 同时对角化.充分性 由已知存在可逆矩阵 使得 扩展:设是一个矩阵集合, 中每个矩阵都与对角矩阵相似,那么 中任意两个矩阵是可交换的 存在可逆矩阵 使得对 中所有矩阵 为对角阵. 证明:必要性 (1)先证明当 为有限集时结论成立,设 用数学归纳法,当时,结论成立;当 时,仿定理6 的必要性 时成立,考虑时:因为 可对角化,从而存在可逆矩阵 使得 其中各不相同, 是同阶矩阵.因为 可对角化,那 也可对角化,由得 从而由归纳假设知存在可逆矩阵使得 可逆,且使得为对角阵. 对角阵,此即 时也成立. 再考虑 为无限集时,由于 包含于,从而 存在一个极大无关组,其中 则由(1)知存在,使得 都是对角阵,任意 为对角阵.得证.充分性:利用数学归纳法易证得. 定理2.2.3 均为实对称矩阵,则 可交换的充分必要条件是 可同时正交对角化.证明:必要性 由于 均为实对称矩阵。则 可对角化, 所以存在正交矩阵 ,使得 ,其中 为准对称矩阵.由于 可对角化,则它的初等因子都是一次的, 的初等因子也是一次的,所以存在 使得 为对角 为正交阵,且为对角阵. 充分性 可同时正交对角化,则存在正交阵使得 定理2.2.4可逆矩阵 可交换的充要条件是证明:分别由 定理2.2.5(1)设 可交换的充要条件是 为对称矩阵; 可交换的充要条件是为反对称矩阵. 证明 (1)必要性 均为对称矩阵,那么有,因此 为对称矩阵; 均为反对称矩阵,则,因此 为对称矩阵.充分性 为正定矩阵,那么正定. 证明: 必要性 即是实对称矩阵. 由于 都是正定的,从而都可对角化,所以存在可逆阵使得, 其中大于零. 是正定阵,从而是实对称阵.所以 个互不相同的特征根,那么 的线性组合.证明 充分性:显然; 必要性:由定理5 知存在 使得 又由拉格朗日内插法知,存在唯一的次多项式 使得 于是 所以 的线 阶矩阵,,那么 在可逆矩阵使得 均为对角阵.证明 必要性:由 可对角化,设使得 于是存在,使得 可同时对化.充分性:同定理2.2.6 充分性的证明. 四.可交换矩阵的一些性质 可交换,则有性质 2.3.1 其中 都是正 整数; 证明:由 可得 同理可证 性质2.3.2,其中 项式可交换;由性质2.3.1 性质2.3.4(矩阵二项式定理). 性质2.3.3、性质2.3.4 用数学归纳法可证得.性质 2.3.5 阶方阵,,则存在一个 逆矩阵,使得 同为上三角矩阵.性质2.3.6 的二阶方阵的可交换阵为二阶方阵(其中 为任意实数). 性质2.3.7 ,其中为任意实数). 性质2.3.8 其中为任意实 的三阶方阵的可交换矩阵仍是三阶方阵 (其中 为任意实数). 性质2.3.7 到2.3.9 是关于比较特殊的二阶、三阶上三角矩阵可交换的性 质,下边给出的是更一般的关于特殊的 阶上三角矩阵可交换的性质. 的上三角形矩阵.若约定矩阵的对角线从主对角线向右数起,则第一 条对角线上的元素皆为 ,第二条对角线上的元素皆为 ,......,针对型如 的矩阵有如下结论: 引理2.2.9 阶方阵的可交换矩阵型如 性质 2.3.10 阶方阵 能同一切型如 阶方阵可交换的充要条件是 也是型如 阶方阵.证明:必要性:设方阵 能同一切型如 阶方阵可交换,则与也可交换,由引理知 阶方阵.充分性:设 性质2.3.11 第一行为 的矩阵.证明:易证 是可逆的.设 ,其中当 ,由引理2.2.9及逆矩阵的唯一性得 又因 ,所以 的矩阵.五.举例 与所有的阶矩阵均可交换,则 一定是数量矩阵. 证明:记 列的元素表示为1,而其余元素为零的 矩阵.因 与任何矩阵均可交换,所以必 设矩阵为对角矩阵,其中 可交换的充要条件是为对角矩阵. 可交换的充要条件是为准对角矩阵. 证明:(1)若 均为对角矩阵,则由定理1(4)可知 ,因为为对角矩阵, 所以 所以为对角矩阵.仿(1)不难证明(2). 结论 本文针对一般的矩阵不可交换这一性质进行了深入研究.对一些特殊的矩 阵(如上三角矩阵、数量矩阵等)给出了一些可交换的性质、充分条件和必要 条件. 本文主要参考一些特殊的公式和通过一些特殊的矩阵如对焦矩阵、数量矩 阵、上三角矩阵等的研究来对矩阵可交换性的充分条件、充要条件的探讨和总 结以及矩阵可交换性的一些优美性质的探讨. thesis,wefocus mostmatrices commutativity.Wegive some quality sufficiencyconditions somespecial matrices,scalar matrices someupper triangle matrices. somespecial formula,matrix as,diagonalmatrix upper triangle matrix etc,we get some sufficiency conditions matrix,andsome beautiful quality about commutativity. 致谢 历时将近两个月的时间终于将这篇论文写完,在论文的写作过程中遇到了 无数的困难和障碍,都在同学和老师的帮助下度过了。尤其要强烈感谢我的论 文指导老师—王宽小老师,他对我进行了无私的指导和帮助,不厌其烦的帮助 进行论文的修改和改进。另外,在校图书馆查找资料的时候,图书馆的老师也 给我提供了很多方面的支持与帮助。在此向帮助和指导过我的各位老师表示最 中心的感谢! 感谢这篇论文所涉及到的各位学者。本文引用了数位学者的研究文献,如 果没有各位学者的研究成果的帮助和启发,我将很难完成本篇论文的写作。 感谢我的同学和朋友,在我写论文的过程中给予我了很多你问素材,还在论 文的撰写和排版灯过程中提供热情的帮助。 由于我的学术水平有限,所写论文难免有不足之处,恳请各位老师和学友批 评和指正! 参考文献 高丽.一类上三角形矩阵可交换的充要条件.滨州师范学院学报,2000,16(4):31-33 周颐等.域上方阵乘积可交换的充要条件.东北电力学院学报,2001,21,(3):30-33 [6]北京大学数学系.高等代数:第二版.北京:高等教育出版社,1998:203-2330 [7]韩锦扬.矩阵乘法 成立的两个充要条件与一个充分条件.[J]工科数学,1995, (1):169-170 [8]赵锡英等.可交换矩阵.兰州工业高等专科学校学报,2002,9(3):51-54

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